Встроенных средств для этого нет. Нужно самостоятельно вести учёт приручённых животных.
Для каждого моба есть интерфейс работы с ним.
Java:
if(entity.getType() == EntityType.WOLF) {
Wolf wolf = (Wolf)entity;
wolf.setOwner(player); // приручить
wolf.getOwner().getName(); // узнать имя приручившего
}
Универсальный вариант для всех "приручаемых" мобов:
Java:
if(entity instanceof Tameable) {
Tameable wolf = (Tameable)entity;
wolf.setOwner(player); // приручить
wolf.getOwner().getName(); // узнать имя приручившего
}